Истощение. Добавим к Ланчестеру.

[fat_yankey]

Разговор про уравнения Ланчестера у нас уже был. Кто интересуется глубже, советую почитать "Торадицею", там лучшее изложение математики этого дела. Лучше чем в русской, английской и даже немецкой вики. Скажем, ни в одной из вик, кроме "Торадицеи" не дано общее решение.

Ну да ладно. Есть, однако, одна вещь, которая меня в этих уравнениях напрягала - это "уравнения боя", а не войны. В них нет пополнений. Они описывают скорость истребления армий сошедшихся на поле боя в позиционной войне. Но при этом, армии пополнения не получают. На самом деле модифицировать уравнения Ланчестера для случая равномерных пополнений довольно нетрудно. Нужно просто перейти от системы однородных уравнений к неоднородным. Решается подобные системы настолько легко, что есть даже онлайн решалка для них. Однако, видимо никому это не было интересно настолько, чтобы решить, и выложить решение. Или посчитали слишком тривиальным. Может. конечно, если специально поискать, оно найдётся, но самому решить быстрее. Вот что выйдет:



Здесь A(t) и B(t) - функции численности армий сторон в каждый момент времени; a и b - скорость пополнения сторон A и B соответственно.

Замечу, что в уравнениях Ланчестера обычно присутствуют коэффициенты "огневой мощи" - α и β. Собственно, "физический смысл" уравнений как раз в том, что превосходство противника в численности компенсируется квадратом превосходства "огневой мощи". То есть вот если унтерменшей вдвое больше, чем уберменшей, то чтобы выйти на ничью каждому уберменшу в единицу времени нужно убивать вчетверо больше унтерменшей, чем унтерменшу - уберменшей.

Однако, можно оперировать приведённой численностью. Если каждый уберменш в единицу времени убивает вдвое больше унтерменшей, чем каждый унтерменш - уберменшей, то можно просто считать одного уберменша за 1,4142... унтерменша, и коэффициенты из уравнений убрираются. Подбором единиц измерения коэффициент k из приведённых уравнений Ланчестера в "Торадицее" тоже можно убрать.

"Уравнения с пополнением" решены именно в таком подходе, чтоб не затуманивать суть влияния пополнений. Видно, что без пополнений (a и b равны нулю), решения вырождаются в решения уравнений Ланчестера. При ненулевых скоростях пополнения, ноль фазового пространства сдвигается в точку с координатами (b,a). То есть решением будет то же семейство гипербол, но со сдвинутым седлом:



На этом графике по горизонтали - численность армии A, по вертикали - B. Армия A получает 30 единиц пополнения в единицу времени, а армия B - вдвое больше. Читается слева направо и сверху вниз. Скажем, если война началась при 100 A (правая граница области графика) и 60 B, то A уничтожат B в ноль, при этом численность их армии сперва упадёт до 86, а потом восстановится обратно до 100. Если же у B в начале войны 75 единиц, а не 60, то выигрывает уже B, истребляя A в ноль, и наращивая к концу войны численность армии до 93 единиц. При 70 решение выходит ничейное.

Как видим, простой сдвиг седловой точки сильно меняет характер решения. Вместо монотонных фазовых траекторий решения обычных уравнений Ланчестера, мы получаем траектории проходящие через минимум. Численность обеих армий сперва падает - потери больше пополнений, а затем армия будущего победителя начинает расти, за счёт того, что подходящие пополнения начинают превышать потери.

Меняется и характер "ничейного решения" (красная линия на графике). Если для уравнений Ланчестера ничьёй была ситуация взаимного истребления обеих армий, то в "уравнениях с пополнением" ничейная ситуация это "окопы Первой мировой" - численности армий стабилизируются на определённом уровне, а подходящие пополнения взаимоистребляются. Время войны и сумма потерь уходят в бесконечность.

Это можно легко представить - допустим армия A (англичане) имеет численность 30 единиц, и получает 60 единиц пополнения за единицу времени (назовём её "месяц"). А армия B (боши) имеет численность 60 единиц и получает 30 единиц пополнения в месяц. Каждая единица англичан за месяц истребляет единцу бошей, и наоборот. За месяц англичане получат 60 единиц пополнения, но потеряют 60 единиц от огня бошей. У них так и останется 30. Боши получат 30 единиц пополнения, но потеряют 30 единиц от огня англичан. И тоже останутся при своих 60. И так каждый месяц.

Comments

[vir77.livejournal.com]

a и b не зависят от времени? А почему?

[whiteferz.livejournal.com]

Потому что допущение для длительного конфликта.

А так — там всё зависит от времени, от результатов боевых действий и ещё от всякой неведомой долбаной фигни.

[vir77.livejournal.com]

При чем здесь длительность конфликта?

[fat-yankey.livejournal.com]

Ну, модель такая. Скорость поступления пополнений постоянна. Типа каждый год 18-летия достигает одинаковое количество допризывников.

[vir77.livejournal.com]

Ну пусть будет. А что, призыв растянут равномерно на весь год?

Я бы ещё ввел разные коэффициенты уничтожения противника, k_A и k_B. Армии же разные.

[mindspotter.livejournal.com]

>Каждая единица англичан за месяц истребляет единцу бошей, и наоборот.

Это может ввести в заблуждение, как мне кажется, поскольку соответствует модели "честного боя", а не "сосредоточенного огня". Т.е. может в приведённом примере взятые Вами соотношения и приводят к такому результату, но в других соотношениях должно быть иначе.

[freedom_of_sea.livejournal.com]

Осталось ввести например дальнобойность, скорость в бою и на марше и тд

[veremeenko-alex.livejournal.com]

это всё записывается в коэффициент

[oogl.livejournal.com]

Если за квант времени в одну сторону капнуло X, в другую 2X, в следующий квант времени допустим наоборот, то на интервале в два кванта количество поступлений одинаково, но между первым и вторым квантами, подкрепления уже успели поработать. Получается, что модель зависима от того, как квантуется время.

[semonsemenich.livejournal.com]

Скорость пополнения постоянна. Это оговорено. Да и просто из логики следует.
(Конечно, это условность. Но тут условности и покруче есть.)

[oogl.livejournal.com]

Так в том-то и вопрос, есть-ли смысл ходить дальше Ланчестера, и рисовать фракталы, если результаты моделирования зависят от крыла бабочки. Где модель показывает ценность?

[fat-yankey.livejournal.com]

Время не квантуется никак.

[mindspotter.livejournal.com]

И чуть более теоретический комментарий.

Насколько я вижу, ключевым оказывается соотношение между скоростью пополнений и исходной численностью. В рассмотренных примерах эти величины сравнимы. Подобное может быть при моделировании десантных операций (я вот с ходу нагуглил как раз такой пример, американцы развлекаются по поводу Иводзимы), при этом единицы времени — день.

Если мы говорим о масштабе войны в целом, то скорость подкреплений, сравнимая с исходной численностью в уравнении — это, кмк, уже что-то вроде "единица времени — год". И меня смущает, что изменив масштаб — взяв за единицу времени месяц, т.е. уменьшив a и b в десять раз — мы получим совсем иные решения. А именно — величина скорости подкреплений будет оказывать куда как меньшее влияние на итог, хотя с точки зрения "физической" вроде бы ничего не поменялось. Хотя это можно интерпретировать и как "маршевые пополнения сгорают, а свежие части решают".

В любом случае спасибо за пример)

[semonsemenich.livejournal.com]

В дифурах по умолчанию предполагается, что функции гладкие (непрерывно-дифференцируемые). Поэтому единица времени значения не имеет: что год, что секунда. (разумеется, это условность: за секунду приедет 1/10 солдата. Ну, на то и математика) А месяц фэт-янки помянул, как я понимаю, просто чтобы перевести разговор во что-то по-житейски наглядное.

[mindspotter.livejournal.com]

Единица времени не имеет значения, если подкрепления показать как функцию времени R(t) — но тогда и решения не получить. Здесь же R(t)=a*t, и dR/dt=a. Соответственно, а — размерный коэффициент, для которого выбор единицы времени важен. И нехорошо ещё то, что в скобках (A0-a) и (B0-b) находятся величины разной размерности.

[fat-yankey.livejournal.com]

> за секунду приедет 1/10 солдата

Не "солдата", а некой непрерывной величины численности армии. Назовите её, например, дивизией. 1/10 дивизии звучит вполне нормально.

[fat-yankey.livejournal.com]

> это, кмк, уже что-то вроде "единица времени — год"

Можно и так.

Единицы измерения подбираются так, чтобы вывести коэффициенты в единицу. Я там это упоминаю: "Подбором единиц измерения коэффициент k из приведённых уравнений Ланчестера в Торадицее тоже можно убрать".

Используйте такие единицы времени, какие придают примеру наибольшую реалистичность.

[mindspotter.livejournal.com]

>Используйте такие единицы времени, какие придают примеру наибольшую реалистичность.

Такие модели хороши как раз тем, что позволяют исследовать логику процесса по схеме "если..., то..." и давать лучшее "ощущение" каких-то важных выводов. Т.е. надо, кмк, не стремится к реалистичности, а именно исследовать крайние случаи.

Исходный Ленчестер, напр., объясняет, как работает принцип концентрации сил и позволяет понять, почему в схеме с "прицельным/сосредоточенным огнём" количество существенно важнее качества. Ваш пример позволил оценить идею "массирования резервов", что тоже очень интересно. Спасибо!

[semonsemenich.livejournal.com]

Пример в последнем абзаце не очень удачный. Т.к., численность в реальной армии не может быть величиной отрицательной. А ведь 60 бошей в первый момент именно что англичан в минус загонят.
Видимо, надо, чтобы одна единица поражала не единицу противника. А что-то типа 1/3. (чтоб меньше 1/2). Ну и противник так же.

[mindspotter.livejournal.com]

>Видимо, надо, чтобы одна единица поражала не единицу противника. А что-то типа 1/3. (чтоб меньше 1/2). Ну и противник так же.

Вся суть уравнения Ленчестера в том, что число поражённых единиц B зависит от числа имеющихся единиц А, а не является константой.

[semonsemenich.livejournal.com]

А я и ни разу не против этого утверждения. На что Вы мне указали?
Вопрос был в том, сколько единиц противника поражает ОДНА единица родной армии. У фэт-янки сказано: ОДНА единица поражает ОДНУ единицу. (Один солдат одного солдата, грубо говоря).

[whiteferz.livejournal.com]

>> Вся суть уравнения Ленчестера в том, что число поражённых единиц B зависит от числа имеющихся единиц А, а не является константой.

Всё так.

Но хуже всего то, что не просто "от единиц А", а от "активных единиц А".

То есть, если фронт — тысяча км, но на 700 из них идут лишь беспокоящие перестрелки, а реальная заруба — лишь на 300 км, то значимым является соотношение численности на фронте в 300 км.

А оно по отношению к общему соотношению сил может даже быть обратным.

И поскольку формальных способов определения степени активности немного, то эти дифуры больше годятся для компьютерных стратегий, чем для оценки перспективы реальных боевых действий.

[fat-yankey.livejournal.com]

> А ведь 60 бошей в первый момент именно что англичан в минус загонят.

Ну, время-то не квантуется. Подкрепления идут непрерывным потоком.

За одну десятую единицы времени 10 единиц бошей убьют одну единицу англичан и наоборот. То есть 60 единиц бошей истребят шесть единиц англичан, а 30 единиц англичан истребят шесть единиц бошей. За эту же одну десятую единицу времени англичане получат шесть единиц пополнения, а боши три,

За одну сотую...

И так далее, пока Ахиллес не догонит черепаху.

[katmoor.livejournal.com]

Есть, однако, одна вещь, которая меня в этих уравнениях напрягала - это "уравнения боя", а не войны. В них нет пополнений. Они описывают скорость истребления армий сошедшихся на поле боя в позиционной войне. Но при этом, армии пополнения не получают.

Я думаю,что это правильно.

Не следует рассматривать фронт и тыл как отдельные друг от друга сущности.Каждый солдат полученный армией изымается из тыла и соответственно ослабляет его.

Следовательно для решения уравнения надо весь пригодный человеческий материал включить в численность армии.

Это первая поправка.

Вторая поправка.Армии нужно пополнять не только выбывших людей,но и выбывшую технику.боеприпасы и прочие расходники. Кто их будет производить?

[whiteferz.livejournal.com]

Вся засада с этими уравнениями такая: в тактическом масштабе нет пополнений, и статистические обобщения по тактической карте не канают.

А в стратегическом масштабе обобщения слишком грубые, не учитывающие оперативный уровень (https://fat-yankey.livejournal.com/173056.html?thread=11345664#t11345664).

Поэтому опять не канают.

Таким образом, военная наука не сводится к дифурам.

Так же, как биология не сводится к ядерной физике.